Interesse composto: come si calcola, passo per passo

L'interesse composto è l'interesse che matura anche sugli interessi già maturati, e non solo sulla somma iniziale. Qui trovi la formula, come si usa quando i versamenti sono periodici, come si legge la differenza fra tasso annuo e capitalizzazione mensile, e cosa succede al conto quando entrano in gioco l'imposta sulle rendite e l'imposta di bollo. Tutti gli esempi sono calcoli aritmetici su cifre inventate per far vedere il meccanismo: servono a mostrare come si fa il conto, non a dire cosa succederà ai tuoi soldi.

La formula dell'interesse composto

La formula è M = C × (1 + i)ⁿ: il montante finale M si ottiene moltiplicando il capitale iniziale C per il fattore (1 + i) elevato al numero di periodi n, dove i è il tasso di interesse del singolo periodo scritto in forma decimale. Un tasso del 3% si scrive 0,03, quindi il fattore è 1,03. Elevare alla n significa moltiplicare quel fattore per se stesso n volte: è esattamente il passaggio che fa maturare interessi sugli interessi, perché ogni anno si parte dal totale dell'anno prima e non dal capitale di partenza.

Se ti serve solo la parte di interessi e non il totale, si sottrae il capitale: interessi = M − C. E se conosci il montante e vuoi risalire al capitale iniziale, la formula si gira: C = M ÷ (1 + i)ⁿ.

Un esempio con i numeri

Con 1.000 euro di capitale iniziale, un tasso del 3% annuo e 10 anni, il montante è 1.000 × 1,03¹⁰ = 1.343,92 euro, di cui 343,92 euro di interessi. Il conto si fa così: 1,03 elevato alla decima vale 1,343916, e moltiplicato per 1.000 dà il montante. Non serve nient'altro: una calcolatrice con il tasto delle potenze, oppure un foglio di calcolo con la formula =1000*(1,03)^10.

Anno per anno, il primo anno gli interessi sono 30 euro (il 3% di 1.000). Il secondo anno il 3% si applica a 1.030, quindi sono 30,90 euro. Il terzo a 1.060,90, quindi 31,83 euro. La cifra cresce ogni anno senza che tu aggiunga nulla, e la crescita è tutta lì: è l'interesse che lavora sull'interesse.

Interesse semplice e interesse composto: dove si separano

Con l'interesse semplice gli interessi si calcolano sempre e solo sul capitale iniziale, quindi la formula è M = C × (1 + i × n) e la crescita è una linea retta; con l'interesse composto la base di calcolo si aggiorna a ogni periodo e la crescita è una curva. Sullo stesso esempio di prima — 1.000 euro al 3% per 10 anni — l'interesse semplice dà 1.000 × (1 + 0,03 × 10) = 1.300 euro, contro i 1.343,92 euro dell'interesse composto: 43,92 euro di differenza.

La distanza fra le due formule è piccola sui periodi brevi e si allarga con il tempo, perché il numero di volte che la base si aggiorna cresce. Sullo stesso tasso del 3%, dopo 30 anni l'interesse semplice porta 1.000 euro a 1.900 euro, mentre l'interesse composto li porta a 2.427,26 euro (1,03³⁰ = 2,427262).

Se gli interessi si accreditano ogni mese

Quando gli interessi non si accreditano una volta l'anno ma più spesso, si divide il tasso annuo per il numero di periodi in un anno e si moltiplica il numero di anni per lo stesso numero: con capitalizzazione mensile, i = tasso annuo ÷ 12 e n = anni × 12. Con un tasso annuo nominale del 3%, il tasso mensile è 0,0025 (cioè 0,25%) e in 10 anni i periodi sono 120: 1.000 × 1,0025¹²⁰ = 1.349,35 euro, contro i 1.343,92 euro della capitalizzazione annuale.

Da qui nasce la differenza fra due sigle che trovi nei documenti bancari. Il tasso nominale annuo è il tasso dichiarato prima di tenere conto di quante volte l'anno gli interessi si accreditano; il tasso annuo effettivo è quello che risulta dopo averlo tenuto in conto. Un 3% nominale con accredito mensile corrisponde a un tasso effettivo di 1,0025¹² − 1 = 3,0416%. La Banca d'Italia impone che nei fogli informativi dei prodotti bancari sia indicato il tasso effettivo proprio perché è quello confrontabile fra prodotti con periodicità diverse.

Come si calcola se versi ogni mese

Se invece di una somma unica versi una cifra fissa a ogni periodo, la formula diventa M = R × [(1 + i)ⁿ − 1] ÷ i, dove R è il versamento periodico: si chiama montante di una rendita, e conta il fatto che ogni versamento resta investito per un numero di periodi diverso — il primo per tutti, l'ultimo per nessuno. Con 100 euro al mese per 10 anni e un tasso annuo nominale del 3% capitalizzato ogni mese (i = 0,0025, n = 120), il montante è 100 × (1,0025¹²⁰ − 1) ÷ 0,0025 = 13.974 euro, a fronte di 12.000 euro effettivamente versati.

Se hai sia una somma iniziale sia versamenti periodici, i due conti si fanno separatamente e si sommano: la formula del montante sul capitale iniziale più quella della rendita sui versamenti.

La regola del 72, e quanto è precisa

La regola del 72 è una scorciatoia mentale: dividendo 72 per il tasso percentuale si ottiene, in modo approssimato, il numero di anni in cui una somma raddoppia a interesse composto. Al 3% dà 72 ÷ 3 = 24 anni. Il calcolo esatto usa i logaritmi — n = ln(2) ÷ ln(1 + i) = 0,6931 ÷ 0,029559 — e dà 23,45 anni: la scorciatoia sbaglia di circa sei mesi.

L'approssimazione resta vicina al risultato esatto per tassi fra il 5% e il 10% circa, e si allontana sui tassi molto alti: al 20%, la regola dice 3,6 anni contro i 3,8 anni del calcolo esatto. È un modo per farsi un'idea a mente, non un sostituto della formula.

Tasse e imposta di bollo dentro il conto

Sui rendimenti finanziari di natura italiana si applica un'imposta sostitutiva del 26%, ridotta al 12,5% per i titoli di Stato italiani e per quelli emessi da Paesi inclusi nella white list, secondo le aliquote indicate dall'Agenzia delle Entrate. Sull'esempio dei 1.000 euro diventati 1.343,92, i 343,92 euro di interessi tassati al 26% lasciano 254,50 euro netti: il montante netto è 1.254,50 euro. È lo stesso calcolo di prima, applicato alla sola parte di guadagno.

C'è poi l'imposta di bollo sui prodotti finanziari, dovuta nella misura dello 0,2% annuo sul valore di mercato del deposito titoli in base alla tariffa allegata al DPR 642/1972: si applica sul valore, non sul guadagno, quindi va conteggiata anno per anno. Se vuoi rifare questi conti sui tuoi movimenti reali senza costruirti il foglio di calcolo, Quotine li tiene già insieme in un'unica vista.

Tre punti in cui il conto si sbaglia facilmente

Gli errori più frequenti sono tre e sono tutti di unità di misura: usare il tasso in percentuale invece che in decimale (3 al posto di 0,03), lasciare il tasso annuo insieme a un numero di periodi mensili senza dividerlo per 12, e confondere il totale finale con la sola parte di interessi. Un controllo rapido: il montante deve essere sempre maggiore del capitale iniziale quando il tasso è positivo, e la parte di interessi deve essere una frazione credibile del capitale.

Un quarto punto riguarda i tassi variabili: la formula con (1 + i)ⁿ vale se il tasso resta lo stesso per tutti i periodi. Se cambia, i fattori si moltiplicano uno per uno — per esempio (1 + i₁) × (1 + i₂) × (1 + i₃) — e non si può usare una media aritmetica dei tassi, perché darebbe un risultato diverso da quello vero.